Question

【題目】如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝4，AB＝2CD＝6，E是邊BC上一點，過點D、E分別作BC、CD的平行線交于點F，聯結AF并延長，與射線DC交于點G．

（1）當點G與點C重合時，求CE：BE的值；

（2）當點G在邊CD上時，設CE＝m，求△DFG的面積；（用含m的代數式表示）

（3）當△AFD∽△ADG時，求∠DAG的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）EC：BE＝1：1；（2）S△DFG＝；（3）cos∠DAG＝.

【解析】

（1）由題意可得四邊形DCEF是平行四邊形，可得CD=EF，通過證明△CFE∽△CAB，可得，從而BE=CE，則可求CE：BE的值；

（2）延長AG，BC交為于點M，過點C作CN⊥AB于點N，交EF于點H，由題意可得四邊形ADCN是矩形，可得AD=CN=4，CD=AN=3，BN=3，由平行線分線段成比例可求BE，ME，MC，CH，GC的長，即可求GD的長，由三角求形面積公式可△DFG的面積；

（3）由△AFD∽△ADG，可得∠AFD=∠ADG=90°，由余角的性質可得∠DAG=∠B，即可求∠DAG的余弦值．

（1）如圖，

∵DC∥EF，DF∥CE，∴四邊形DCEF是平行四邊形，∴CD=EF．

∵AB=2CD=6，∴AB=2EF．

∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AB，∴△CFE∽△CAB，∴，∴BC=2CE，∴BE=CE，∴EC：BE=1：1．

（2）如圖，延長AG，BC交為于點M，過點C作CN⊥AB于點N，交EF于點H．

∵AD⊥CD，CN⊥CD，∴AD∥CN，且CD∥AB，∴四邊形ADCN是平行四邊形．

又∵∠DAB=90°，∴四邊形ADCN是矩形，∴AD=CN=4，CD=AN=3，∴BN=AB﹣AN=3．

在Rt△BCN中，BC5，∴BE=BC﹣CE=5﹣m．

∵EF∥AB，∴，即，∴ME=BE=5﹣m，∴MC=ME﹣CE=5﹣2m．

∵EF∥AB，∴，∴HCm．

∵CG∥EF，∴，即，∴GC，∴DG=CD﹣GC=3，∴S△DFGDG×CH．

（3）過點C作CN⊥AB于點N．

∵AB∥CD，∠DAB=90°，∴∠DAB=∠ADG=90°，若△AFD∽△ADG，∴∠AFD=∠ADG=90°，∴DF⊥AG．

又∵DF∥BC，∴AG⊥BC，∴∠B+∠GAB=90°，且∠DAG+∠GAB=90°，∴∠B=∠DAG，∴cos∠DAG=cosB．