Question

【題目】在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EF⊥AB交BD于點F，取FD的中點G，連接EG、CG，如圖（1），易證 EG=CG且EG⊥CG．

（1）將△BEF繞點B逆時針旋轉90°，如圖（2），則線段EG和CG有怎樣的數量關系和位置關系？請直接寫出你的猜想．

（2）將△BEF繞點B逆時針旋轉180°，如圖（3），則線段EG和CG又有怎樣的數量關系和位置關系？請寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

【答案】

解（1）EG="CG " EG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)

（2）EG="CG " EG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)

證明：延長FE交DC延長線于M，連MG

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°

∴四邊形BEMC是矩形.

∴BE=CM，∠EMC=90°

又∵BE=EF

∴EF=CM

∵∠EMC=90°，FG=DG

∴MG=FD=FG

∵BC="EM" ，BC=CD

∴EM=CD

∵EF=CM

∴FM=DM

∴∠F=45°

又FG=DG

∵∠CMG=∠EMC=45°

∴∠F=∠GMC

∴△GFE≌△GMC

∴EG="CG" ，∠FGE=∠MGC------------------------------------------------------------------------(2分)

∵∠FMC=90°，MF=MD， FG="DG"

∴MG⊥FD

∴∠FGE+∠EGM=90°

∴∠MGC+∠EGM=90°

即∠EGC=90°

∴EG⊥CG------------------------------------------------------------------------------------------- (2分)

【解析】

試題從圖（1）中尋找證明結論的思路：延長FE交DC邊于M，連MG．構造出△GFE≌△GMC．易得結論；在圖（2）、（3）中借鑒此解法證明．

解：（1）EG=CG，EG⊥CG．

（2）EG=CG，EG⊥CG．

證明：延長FE交DC延長線于M，連MG．

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，

∴四邊形BEMC是矩形．

∴BE=CM，∠EMC=90°，

由圖（3）可知，

∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，

∴∠EBF=45°，

又∵EF⊥AB，

∴△BEF為等腰直角三角形

∴BE=EF，∠F=45°．

∴EF=CM．

∵∠EMC=90°，FG=DG，

∴MG=FD=FG．

∵BC=EM，BC=CD，

∴EM=CD．

∵EF=CM，

∴FM=DM，

又∵FG=DG，

∠CMG=∠EMC=45°，

∴∠F=∠GMC．

∵在△GFE與△GMC中，，

∴△GFE≌△GMC（SAS）．

∴EG=CG，∠FGE=∠MGC.

∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，

∴MG⊥FD，

∴∠FGE+∠EGM=90°，

∴∠MGC+∠EGM=90°，

即∠EGC=90°，

∴EG⊥CG．