Question

【題目】如圖，在內部做，平分，，，，點為的中點：動點由出發，沿運動，速度為每秒5個單位，動點由出發，沿運動，速度為每秒8個單位，當點到達點時，兩點同時停止運動；過、、作；

（1）判斷的形狀為________，并判斷與的位置關系為__________；

（2）求為何值時，與相切？求出此時的半徑，并比較半徑與劣弧長度的大小；

（3）直接寫出的內心運動的路徑長為__________；（注：當、、重合時，內心就是點）

（4）直接寫出線段與有兩個公共點時，的取值范圍為__________．

（參考數據：，，，，）

Answer 1

【答案】（1）△AEF為等腰三角形；DA與相切；（2）劣弧長度＞半徑；（3）的內心運動的路徑長為；（4）線段與有兩個公共點時，的取值范圍為.

【解析】

（1）過點E作EH⊥AF于點H，連接OH，OA，證明△AEH∽△ABC，得到AH=FH，即可證明為等腰三角形；根據圓周角和圓心角證明∠DAC=∠AOE，即可證明∠DAO=90°；

（2）連接EO，AO，OF，交AC于點H，根據相切知四邊形EHCN為矩形，從而求出t，在Rt△AOH中，根據勾股定理求出半徑，然后求出∠AOH的度數即可比較；

（3）得到的內心運動的路徑長為AG，然后根據面積求出內切圓半徑，從而求出AG長；

（4）分別討論兩種極限位置，①當MN與相切時，②當N在圓上時，即ON為半徑，分別求出t的值，即可確定t的取值范圍.

解：（1）過點E作EH⊥AF于點H，連接OH，OA，

∵，，，

∴，

設運動時間為t，

∴AE=5t，AF=8t，

∵EH⊥AF，

∴△AEH∽△ABC，

∴，即，

∴，

∴FH=4t，

∴AH=FH，

∴△AEF為等腰三角形；

∴E為的中點，

∴H為AF的中點，

∴OH垂直AC，

∴∠OAF+∠AOE=90°，

∴∠AOE=2∠EFA，

∵AB平分∠DAC，∠EAC=∠EFA，

∴∠DAC=∠AOE，

∴∠DAC+∠AOE=90°，

∴∠DAO=90°，

∴DA與相切；

（2）連接EO，AO，OF，交AC于點H，

由（1）知EH⊥AC，

∵EN與相切，

∴∠OEN=90°，

∴四邊形EHCN為矩形，

在Rt△AHE中，

，

∴NC=EH=3t，

∵N是BC中點，

∴BC=6t，

∵BC=6，

∴6t=6，

解得：t=1，

∴AH=4，EH=3，

設半徑為x，

∴OH=x-3，

在Rt△AOH中，，

∴，

解得：，

∴，

∴∠AOH=74°，

∴∠AOH＞60°，

∴AE＞半徑，

∴劣弧長度＞半徑；

（3）當E運動到B點時，

t=10÷5=2，

∴AF=2×8=16，

此時△AEF的內心記為G，

當A、E、F三點重合時，內心為A，

∴的內心運動的路徑長為AG，

作GP⊥AE于點P，GQ⊥EF于點Q，

S△AEF=，

設CG=a，

∴S△AEF=S△AGF+S△AEG+S△FEG，

∴，

解得：，

在Rt△ACG中，

，即，

∴AG=，

∴的內心運動的路徑長為；

（4）分別討論兩種極限位置，

①當MN與相切時，

由（2）知，t=1；

②當N在圓上時，即ON為半徑，如圖所示：

則OE=ON，

∴AH=4t，EH=3t，

設半徑為x，

則在Rt△AOH中，

，

解得：，

∴CK=OH=,

在Rt△OKN中，

，

∴，

解得：，

∴線段與有兩個公共點時，的取值范圍為.