Question

   

如圖11，在平面直角坐標系中，已知點A、B、C在x軸上，點D、E在y軸上，OA=OD=2，OC=OE=4，B為線段OA的中點，直線AD與經過B、E、C三點的拋物線交于F、G兩點，與其對稱軸交于M，點P為線段FG上一個動點（點P與F、G不重合），作PQ∥y軸與拋物線交于點Q．

（1）求經過B、E、C三點的拋物線的解析式；

（2）判斷△BDC的形狀，并給出證明；當P在什么位置時，以P、O、C為頂點的三角形是等腰三角形，并求出此時點P的坐標；

（3）若拋物線的頂點為N，連接QN，探究四邊形PMNQ的形狀：①能否成為菱形；②能否成為等腰梯形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：

（1）B（-1，0）E（0，4）C（4，0）設解析式是y=ax²+bx+c

可得解得

 ∴y=-x²+3x+4

（2）△BDC是直角三角形

∵BD²=BO²+DO²=5，DC²=DO²+CO²=20，BC²=（BO+CO）²=25
∴BD²+DC²=BC²

∴△BDC是Rt△

∵點A坐標是（-2，0），點D坐標是（0，2）

∴直線AD的解析式是y=x+2

設點P坐標是（x，x+2）

當OP=OC時x²+（x+2）²=16解得（，舍去）此時點P（）

當PC=OC時（x+2）²+（4-x）²=16方程無解,故不存在

當PO=PC時，點P在OC的中垂線上

∴點P橫坐標是2，得點P坐標是（2，4）

∴當△POC是等腰三角形時，點P坐標是（）或（2，4）

（3）點M坐標是（，點N坐標是（），∴MN=

設點P為（x，x+2）Q（x，-x²+3x+4），則PQ=-x²+2x+2

①若PQNM是菱形，則PQ=MN，可得x1=0.5，x2=1.5

當x2=1.5時，點P與點M重合；當x1=0.5時，可求得PM=，此時PM≠ MN所以菱形不存在

②能成為等腰梯形，此時點P的坐標是（2.5，4.5）