Question

在等腰直角三角形內有一正方形，其兩頂點在斜邊上，另兩頂點在兩直角邊上，若斜邊長是9cm，則正方形周長是________cm．

Answer 1

12
分析：如圖，正方形EFGH的兩頂點在Rt△ABC的斜邊上，另兩頂點在兩直角邊上，過C作CD⊥AB與D，交EF與O，根據正方形的性質容易得到△CEF∽△CAB，設正方形的邊長為x，那么CO=CD-x，根據等腰直角三角形的性質知道CD=4.5，然后利用相似三角形的性質即可列出關于x的方程，解方程即可求解．
解答：解：方法一：
如圖，正方形EFGH的兩頂點在Rt△ABC的斜邊上，另兩頂點在兩直角邊上，
過C作CD⊥AB于D，交EF于O，
設正方形的邊長為x，那么CO=CD-x，
而AB=9cm，
根據等腰直角三角形的性質得CD=4.5，
∴CO=4.5-x，
又根據正方形的性質容易得到△CEF∽△CAB，
∴CO：CD=EF：AB，
∴（4.5-x）：4.5=x：9，
∴x=3，
∴正方形的周長為12cm．
方法二：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°；
故△AEF中∠AEH=45°，同理△BFG中∠BFG=45°，
故可得△AEF和△BFG也是等腰直角三角形，
所以AH=EH，BG=FG；EFGH為正方形，可得AH=EH=HG=FG=BG，
所為HG=AB==3．
所以正方形周長為3×4=12．
故答案為：12．
點評：此題主要考查了相似三角形的性質與判定及正方形的性質，解題時首先利用等腰直角三角和正方形的性質證明相似三角形，然后利用相似三角形的性質列出關于x的方程解決問題．