Question

如圖，△ABC是銳角三角形，以BC為直徑作⊙O，AD是⊙O的切線，從AB上一點(diǎn)E作AB的垂線交AC的延長(zhǎng)線于F，若

AB

AF

=

AE

AC

．
求證：AD=AE．

Answer 1

分析：連接BN，根據(jù)BC為⊙O的直徑，求證△ABN∽△AFE利用其對(duì)應(yīng)邊成比例得AE²=AN•AC，再利用切割線定理得出AD²=AN•AC，然后利用等量代換即可．

解答：證明：如圖，設(shè)AC交⊙O于點(diǎn)N．連接BN，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BNC=90°，
∴∠BNA=90°，
∵FE⊥AB，
∴∠AEF=90°=∠BNA，
∠BNA=∠FAE，
∴△ABN∽△AFE，
∴

AB

AF

=

AN

AE

，
∵

AB

AF

=

AE

AC

，
∴

AN

AE

=

AE

AC

，即AE²=AN•AC，
∵AD切⊙O于D，ANC為割線，
AD²=AN•AC，
即AD=AE．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)和切割線定理的理解和掌握，證明此題的關(guān)鍵是作好輔助線：連接BN，求證出AE²=AN•AC，和AD²=AN•AC，這是此題的突破點(diǎn)．此題有一定難度，屬于難題．