Question

閱讀下面短文：
如圖①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，現將△ABC補成矩形，使△ABC的兩個頂點為矩形一邊的兩個端點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，那么符合要求的矩形可以畫出兩個矩形ACBD和矩形AEFB（如圖②）
解答問題：
（1）設圖②中矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為S₁、S₂，則S₁

 

S₂（填“＞”“=”或“＜”）．
（2）如圖③，△ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的矩形可以畫

 

個，利用圖③把它畫出來．
（3）如圖④，△ABC是銳角三角形且三邊滿足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出

 

個，利用圖④把它畫出來．
（4）在（3）中所畫出的矩形中，哪一個的周長最小？為什么？

Answer 1

分析：（1）易得原有三角形都等于所畫矩形的一半，那么這兩個矩形的面積相等．
（2）可仿照圖2矩形ABFE的畫法得到矩形．由于∠C非直角，所以只有一種情況．
（3）可讓原銳角三角形的任意一邊為矩形的一邊，另一頂點在矩形的另一邊的對邊上，可得三種情況．
（4）根據三個矩形的面積相等，利用求差法比較三個矩形的周長即可．

解答：解：（1）=
（2）1
（3）3
（4）以AB為邊長的矩形周長最小，
設矩形BCED，ACHQ，ABGF的周長分別為L₁，L₂，L₃，BC=a，AC=b，AB=c．易得三個矩形的面積相等，設為S，
∴L₁=

2S

a

+2a；L₂=

2S

b

+2b；L₃=

2S

c

+2c．
∵L₁-L₂=2（a-b）

ab-s

ab

而a-b＞0，ab-s＞0，ab＞0
∴L₁-L₂＞0，
∴L₁＞L₂，同理可得L₂＞L₃
∴以AB為邊長的矩形周長最小．

點評：注意運用類比的方法畫圖；要比較兩個數或式子的大小，一般采用求差法．