Question

如圖所示，AB是⊙O直徑，BD是⊙O的切線，OD⊥弦BC于點F，交⊙O于點E，且∠A=∠D．
（1）求∠A的度數；
（2）若CE=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）∵BD是⊙O的切線，AB是⊙O直徑，
∴∠OBD=90°，
∴∠D+∠DOB=90°，
∵AO=OE，
∴∠A=∠AEO，
∴∠DOB=2∠A，
∵∠A=∠D，
∴3∠A=90°，
∴∠A=30°；
（2）連接BE，
∵OD⊥弦BC于點F，
∴弧CE=弧BE，
∴CE=BE=5，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠AEB=90°，
∵∠A=30°，
∴AB=2BE=10，
∴⊙O的半徑為5．
分析：（1）有切線的性質可得∠OBD=90°，再有三角形的外角和定理可得：∠ODB=2∠A，所以在△OBD中，3∠A=90°，進而求出∠A的度數；
（2）連接BE，利用垂徑定理可得CE=BE，在直角三角形AEB中，利用30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半，可求出AB的長，進而求出⊙O的半徑．
點評：本題考查了切線的性質定理，垂徑定理以及圓周角定理和直角三角形的性質，題目的綜合性不小，但難度不大．