Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是AD上的點，點F是BC的延長線上一點，CF=DE，連結BE和EF，EF與CD交于點G，且∠FBE=∠FEB．

（1）過點F作FH⊥BE于點H，證明： = ；
（2）猜想：BE、AE、EF之間的數量關系，并證明你的結論；
（3）若DG=2，求AE值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵在正方形ABCD中，AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBF，

又∵FH⊥BE，

∴∠A=∠BHF=90°，

∴△ABE∽△HFB，

∴ =

（2）

BE2=2AEEF，

證明如下：∵∠FBE=∠FEB，

∴BF=EF，

∵FH⊥BE，

∴FH是等腰△FBE底邊上的中線，

∴BH= BE，

由（1）得， ，

∴

∴BE2=2AEBF；

∵BF=EF，

∴BE2=2AEEF

（3）

解：∵DG═2，

∴正方形ABCD的邊長為4，

設AE=k（0＜k＜4），

則DE═4﹣k，BF=8﹣k，

在Rt△ABM中，BE2=AB2+AE2=16+k2，

由BE2=2AEBF，得16+k2=2k（8﹣k），

即3k2﹣16k+16=0，解得 k= 或k=4

∵k≠4，

∴AE=

【解析】（1）根據正方形的性質得到∠AEB=∠EBF，由已知條件得到∠A=∠BHF，根據相似三角形的判定定理即可得到結論；（2）根據已知條件得到FH是等腰△FBE底邊上的高，求得BH= BE，由根據相似三角形的性質得到 ，等量代換即可得到結論；（3）由已知條件得到正方形ABCD的邊長為4，設AE=k（0＜k＜2），則DE═4﹣k，BF=8﹣k，根據勾股定理列方程即可得到結果．