Question

如圖，以扇形OAB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，點B的坐標為（2，0），若拋物線y=

1

2

x²+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，則實數k的取值范圍是______．

Answer 1

由圖可知，∠AOB=45°，
∴直線OA的解析式為y=x，
聯立

y=x y= 1 2 x2+k

消掉y得，
x²-2x+2k=0，
△=b²-4ac=（-2）²-4×1×2k=0，
即k=

1

2

時，拋物線與OA有一個交點，
此交點的橫坐標為1，
∵點B的坐標為（2，0），
∴OA=2，
∴點A的坐標為（

2

，

2

），
∴交點在線段AO上；
當拋物線經過點B（2，0）時，

1

2

×4+k=0，
解得k=-2，
∴要使拋物線y=

1

2

x²+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，實數k的取值范圍是-2＜k＜

1

2

．
故答案為：-2＜k＜

1

2

．