Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，AC為⊙O的弦，過⊙O外的點D作DE⊥OA于點E，交AC于點F，連接DC并延長交AB的延長線于點P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于點H．

（1）判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若HB=2，cosD= ，請求出AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，

∵∠COB=2∠A，∠D=2∠A

∴∠COB=∠D，

∵DE⊥AP，

∴∠DEP=90°，

在Rt△DEP中，∠DEP=90°，

∴∠P+∠D=90°

∴∠P+∠COB=90°，

∴∠OCP=90°，

∴半徑OC⊥DC，

∴DC與⊙O相切

（2）解：由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，

∴cos∠COP=cos∠D= ，

∵CH⊥OP

∴∠CHO=90°，

設(shè)⊙O的半徑為r，

則OH=r﹣2

在Rt△CHO中，

cos∠HOC= = =

∴r=5

∴OH=5﹣2=3

∴由勾股定理可知：CH=4，

∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8

在Rt△AHC中，∠CHA=90°，

∴由勾股定理可知：AC=4

【解析】（1）證切線可連結(jié)半徑，證垂直；（2）轉(zhuǎn)化cos∠COP=cos∠D，在Rt△CHO中利用三角函數(shù)列方程求出r從而求出AC.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和直線與圓的三種位置關(guān)系的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；直線與圓有三種位置關(guān)系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．