Question

【題目】將大小兩把含30°角的直角三角尺按如圖1 位置擺放，即大小直角三角尺的直角頂點C 重合，小三角尺的頂點 D、E 分別在大三角尺的直角邊 AC、BC 上，此時小三角尺的斜邊 DE 恰好經過大三角尺的重心G .已知A CDE 30°， AB 12 .

（1）求小三角尺的直角邊CD 的長；

（2）將小三角尺繞點C 逆時針旋轉，當點D第一次落在大三角尺的邊 AB 上時（如圖2），求點 B 、 E 之間的距離；

（3）在小三角尺繞點C 旋轉的過程中，當直線 DE 經過點 A 時，求BAE 的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）CD=4；（2）；（3）或

【解析】

(1)求出BC，AC,利用重心即可解答.

(2) 做CH⊥AB于H，根據條件求出AD，利用三角形相似即可解答.

(3)分類討論DE在AC下方和DE在AC上方時的情況，利用勾股定理即可解答.

解：（1）根據題意得BC=6，AC=6，

由重心性質可得,

可得CD=4.

(2)做CH⊥AB于H，

可得BH=3，CH=3，AH=9，

∵CD=4，即DH==.

∴AD=9-.

∵∠ACD=∠BCE，，

所以△ACD∽△BCE，

所以，即BE=3-.

(3)①DE在AC下方時：△ACD∽△BCE，

得∠BED=∠ADC=∠DCE+∠CED，，

∴∠AEB=∠DCE=90°，設BE=x,AD=x,

在Rt△ABE中，，

可得x=4-2.

所以sin∠BAE==.

②DE在AC上方時，

同理，

∠BEC+∠DEC=∠D+∠DEC=90°，

∴∠AEB=90，

設BE=x,AD=x,AE=x-8,

在直角三角形ABE中，，

解得x=4+2,

所以sin∠BAE=.

故BAE 的正弦值.為或.