Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,tanA=4/3,點D是斜邊AB上的動點，連接CD，作DE⊥CD，交射線CB于點E,設AD=x。（1）當點D是邊AB的中點時，求線段DE的長；（2）當△BED是等腰三角形時，求x的值；（3）如果y=DE/DB。求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域。

Answer 1

(1)DE=;(2)（i）x=;（ii）AD=2;(3)y=（0＜x＜10）．

試題分析：（1）在直角三角形ABC中，由AB與tanA的值，利用銳角三角函數定義及勾股定理求出BC與AC的長，由D為斜邊上的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=AD=BD=5，可得出∠DCB=∠DBC，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的三角形相似得到△EDC與△ACB相似，由相似得比例，即可求出DE的長；
（2）分兩種情況考慮：
（i）當E在BC邊上時，由△BDE為等腰三角形且∠BED為鈍角，得到DE=BE，利用等邊對等角得到∠EBD=∠EDB，利用等角的余角相等得到∠CDA=∠A，利用等角對等邊得到CD=AC，作CH垂直于AB，利用三線合一得到AD=2AH，由cosA的值求出AH的長，進而求出AD的長，即為x的值；
（ii）當E為BC延長線上時，與∠DBE為鈍角得到DB=BE，同理求出x的值；
（3）作DM垂直于BC，得到DM與AC平行，由平行得比例，表示出DM與BM，進而表示出CD與CM，由三角形DEM與三角形CDM相似得比例，表示出DE，由BD=AB-AD=10-x，將DE與DB代入表示出y，化簡得到結果，并求出x的范圍即可．
試題解析：
（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，tanA="4" 3 ，
∴BC=8，AC=6，
∵點D為斜邊AB的中點，∴CD=AD=BD=5，
∴∠DCB=∠DBC，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴△EDC∽△ACB，
∴DE:CD="AC:BC" ，即DE:5="6:8" ，
則DE=；
（2）分兩種情況情況：
（i）當E在BC邊長時，
∵△BED為等腰三角形，∠BED為鈍角，
∴EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠A，
∴CD=AC，
作CH⊥AB，垂足為H，那么AD=2AH，
∴AH:AC="3:5" ，即AH=，
∴AD=，即x=；
（ii）當E在CB延長線上時，
∵△BED為等腰三角形，∠DBE為鈍角，
∴BD=DE，
∴∠BED=∠BDE，
∵∠EDC=90°，
∴∠BED+∠BCD=∠BDE+∠BDC=90°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC=8，
∴AD=x=AB-BD=10-8=2；
（3）作DM⊥BC，垂足為M，
∵DM∥AC，
∴DM:AC="BM:BC=BD:BA" ，
∴DM=（10-x），BM=（10-x），
∴CM=8-（10-x）=x，CD= x²?x+36 ，
∵△DEM∽△CDM，
∴DE:DM="CD:CM" ，即DE=，
∴y=，
整理得：y=（0＜x＜10）．