Question

【題目】自從湖南與歐洲的“湘歐快線”開通后，我省與歐洲各國經貿往來日益頻繁，某歐洲客商準備在湖南采購一批特色商品，經調查，用16000元采購型商品的件數是用7500元采購型商品的件數的2倍，一件型商品的進價比一件型商品的進價多10元．

（1）求一件型商品的進價分別為多少元？

（2）若該歐洲客商購進型商品共250件進行試銷，其中型商品的件數不大于型的件數，且不小于80件，已知型商品的售價為240元/件，型商品的售價為220元/件，且全部售出，設購進型商品件，求該客商銷售這批商品的利潤y與之間的函數關系式，并寫出的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，歐洲客商決定在試銷活動中每售出一件型商品，就從一件型商品的利潤中捐獻慈善資金元，求該客商售完所有商品并捐獻資金后獲得的最大收益．

Answer 1

【答案】（1）A型商品的進價為160元，B型商品的進價為150元

（2）函數關系式為：y=10m+17500（80≤m≤125）

（3）當0＜a＜10時，當m=125時利潤最大，ymax=1250-125a+17500=18750-125a

當a=10時，y=17500，ymax=17500

當a＞10時，當m=80時利潤最大，ymax=800-80a+17500=18300-80a

【解析】

試題分析：（1）設一件A型商品的進價為x元，則B型商品的進價為（x-10）元，然后根據“用16000元采購型商品的件數是用7500元采購型商品的件數的2倍”列分式方程求解即可；

（2）設A型商品m件，B型商品（250-m）件，然后根據“歐洲客商購進型商品共250件進行試銷，其中型商品的件數不大于型的件數，且不小于80件”列不等式，根據利潤=售價-進價即可求解函數的解析式；

（3）根據（2）的結果，由收益=利潤-捐款，得到函數的解析式，然后分類討論即可.

試題解析：（1）設一件A型商品的進價為x元，則

解得x=160

經檢驗，x=160時原方程的根

此時，x-10=150

所以一件A型商品的進價為160元，B型商品的進價為150元；

（2）設A型商品m件，B型商品（250-m）件，則

解得80≤m≤125

函數關系式為：y=10m+17500（80≤m≤125）

（3）y=10m+17500-ma=（10-a）m+17500

當0＜a＜10時，y隨m的增大而增大，當m=125時利潤最大，ymax=1250-125a+17500=18750-125a

當a=10時，y=17500，ymax= 17500

當a＞10時，y隨m的增大而減小，當m=80時，利潤最大，ymax=800-80a+17500=18300-80a