Question

【題目】如圖，Rt△ABC，∠C=90°，點D為AB上的一點，以AD為直徑的⊙O與BC相切于點E，連接AE．
（1）求證：AE平分∠BAC；
（2）若AC=8，OB=18，求BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OE．

∵BC是⊙O切線，

∴OE⊥BC，

∴∠OEB=90°，

∵∠C=90°，

∴∠C=∠OEB=90°，

∴AC∥OE，

∴∠CAE=∠AEO，

∵OA=OE，

∴∠AEO=∠OAE=∠CAE，

∴AE平分∠CAB．

（2）解：設OE=OA=OD=r，

∵OE∥AC，

∴ = ，

∴ = ，

∴r=6（負根已經舍棄）

∴BD=OB﹣OD=18﹣6=12

【解析】（1）如圖，連接OE．首先證明AC∥OE，推出∠CAE=∠AEO，由OA=OE，推出∠AEO=∠OAE=∠CAE即可證明．（2）設OE=OA=OD=r，由OE∥AC，得 = ，即 = ，解方程即可．
【考點精析】通過靈活運用切線的性質定理，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑即可以解答此題．