Question

如圖（1），AB是⊙O的直徑，且AB=10，C是⊙O上的動點，AC是弦，直線EF和⊙O相切于點C，AD⊥EF，垂足為D．
（1）求證：∠DAC=∠BAC；
（2）若AD和⊙O相切于點A，求AD的長；
（3）若把直線EF向上平行移動，如圖（2），EF交⊙O于G、C兩點，題中的其他條件不變，這時與∠DAC相等的角是否存在，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，推出∠OCA=∠OAC，根據平行線的性質和判定和切線性質得出∠DAC=∠OCA，即可得出答案；
（2）推出四邊形OADC是正方形，推出OA=AD，即可得出答案；
（3）連接BC推出∠ADC=∠BCA=90°，根據三角形的內角和定理推出∠DAC=∠BCG=∠BAG．
解答：
（1）證明：連接OC，如圖（1），
∵EF切⊙O于C，
∴OC⊥EF，
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠BAC．

（2）解：連接OC，如圖（3），
∵AD切⊙O于A，
∴OA⊥AD，
∵AD⊥EF，OC⊥EF，
∴∠OAD=∠ADC=∠OCD=90°，
∴四邊形OADC是矩形，
∵OA=OC，
∴矩形OADC是正方形，
∴AD=OA，
∵AB=2OA=10，
∴AD=OA=5．

（3）解：存在∠BAG=∠DAC，
理由是：連接BC，如圖（2），
∵AB是⊙O直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠BCG，
∵圓周角∠BAG和∠BCG都對弧BG，
∴∠BCG=∠BAG，
∴∠BAG=∠DAC．
點評：本題考查了切線的性質，矩形的判定，正方形的性質和判定，平行線的性質和判定，圓周角定理，等腰三角形的性質等知識點的綜合運用．