Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，OA=2cm，OA⊥OB，AC交OB于D點，AD=2CD．

（1）求∠BOC的度數；

（2）求線段BD、線段CD和　 　BC圍成的圖形的面積．

Answer 1

【答案】(1) 30°;(2) 弧BC, .

【解析】

（1）作OF⊥AC于F，如圖，設CD=x，則AD=2x，利用等腰三角形性質得AF=x，則DF=x，再證明△AOF∽△ODF，利用相似比得到OF=x，則利用三角函數可求出∠OAF=30°，從而得到∠BOC的度數；

（2）利用含30度的直角三角形三邊的關系得到OF=1，AF=，則AC=2，所以CD=，然后根據三角形面積公式和扇形面積公式，利用線段BD、線段CD和弧BC圍成的圖形的面積=S扇形BOC-S△ODC進行計算.

解：（1）作OF⊥AC于F，如圖，設CD=x，則AD=2x，

∵OA=OC，

∴AF=AC=x，

∴DF=2x﹣x=x，

∵OA⊥OB，

∴∠AOB=90°，

∴△AOF∽△ODF，

∴OF2=AFDF=xx，

∴OF=x，

在Rt△OAF中，tan∠OAF===，

∴∠OAF=30°，

∴∠AOC=120°，

∴∠BOC=120°﹣90°=30°；

（2）∵OA=2，

∴OF=1，AF=，

∴AC=2，

∴CD=AC=，

∴線段BD、線段CD和弧BC圍成的圖形的面積=S扇形BOC﹣S△ODC=﹣1=．