Question

【題目】如圖，E、F、 G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點．

(1)求證：四邊形EFGH為平行四邊形；

(2)當AC、BD滿足______時，四邊形EFGH為矩形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC⊥BD

【解析】

（1）連接BD，根據中位線的性質可得EH∥BD，EH=，FG∥BD，FG=，從而得出EH∥FG，EH= FG，然后根據平行四邊形的判定定理即可證出結論；

（2）當AC⊥BD時，連接AC，根據中位線的性質可得EF∥AC，從而得出EF⊥BD，然后由（1）的結論可證出EF⊥EH，最后根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證出結論．

（1）證明：連接BD

∵E、F、 G、H分別為四邊形ABCD四邊的中點

∴EH是△ABD的中位線，FG是△CBD的中位線

∴EH∥BD，EH=，FG∥BD，FG=

∴EH∥FG，EH= FG

∴四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）當AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形，理由如下

連接AC，

∵E、F為BA和BC的中點

∴EF為△BAC的中位線

∴EF∥AC

∵AC⊥BD

∴EF⊥BD

∵EH∥BD

∴EF⊥EH

∴∠FEH=90°

∵四邊形EFGH為平行四邊形

∴四邊形EFGH為矩形

故答案為：AC⊥BD．