Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0），將直線y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經過B，C兩點．

（1）求直線BC及拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為D，點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點P的坐標；
（3）連接CD，求∠OCA與∠OCD兩角和的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后經過y軸上的點C，

∴C（0，3）．

設直線BC的解析式為y=kx+3．

∵B（3，0）在直線BC上，

∴3k+3=0．

解得k=﹣1．

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

∵拋物線y=x2+bx+c過點B，C，

∴

解得 ，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）解：由y=x2﹣4x+3．

可得D（2，﹣1），A（1，0）．

∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2．

可得△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°，CB=3 ．

如圖1，設拋物線對稱軸與x軸交于點F，

∴AF= AB=1．

過點A作AE⊥BC于點E．

∴∠AEB=90度．

可得BE=AE= ，CE=2 ．

在△AEC與△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，

∴△AEC∽△AFP．

∴ ， ．

解得PF=2．∵點P在拋物線的對稱軸上，

∴點P的坐標為（2，2）或（2，﹣2）．

（3）解：解法一：

如圖2，

作點A（1，0）關于y軸的對稱點A'，則A'（﹣1，0）．

連接A'C，A'D，

可得A'C=AC= ，∠OCA'=∠OCA．

由勾股定理可得CD2=20，A'D2=10．

又∵A'C2=10，

∴A'D2+A'C2=CD2．

∴△A'DC是等腰直角三角形，∠CA'D=90°，

∴∠DCA'=45度．

∴∠OCA'+∠OCD=45度．

∴∠OCA+∠OCD=45度．

即∠OCA與∠OCD兩角和的度數為45度．

解法二：

如圖3，連接BD．

同解法一可得CD= ，AC= ．

在Rt△DBF中，∠DFB=90°，BF=DF=1，

∴DB= ．

在△CBD和△COA中， ， ， ．

∴ ．

∴△CBD∽△COA．

∴∠BCD=∠OCA．

∵∠OCB=45°，

∴∠OCA+∠OCD=45度．

即∠OCA與∠OCD兩角和的度數為45度．

【解析】直線y=kx向上平移3個單位與y軸交于C，可知C（0，3）代入拋物線解析式即可求出b、c；（2）由∠APD=∠ACB可構造△AEC∽△AFP，由對應邊成比例可求出PF，進而求出P坐標；（3）求兩角和可轉化某一個角然后這兩者再相加組成一個角，可由△CBD∽△COA可得出 ∠BCD=∠OCA，∠OCA+∠OCD=∠BCD=45度.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．