Question

【題目】（1）（方法回顧）證明：三角形中位線定理．

已知：如圖1，中，D、E分別是AB、AC的中點.

求證：，．

證明：如圖1，延長DE到點F，使得，連接CF；

請繼續完成證明過程；

（2）（問題解決）

如圖2，在矩形ABCD中，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若，，，求GF的長．

（3）（思維拓展）

如圖3，在梯形ABCD中，，，，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若，，，求GF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）用“倍長法”將DE延長一倍：延長DE到F，使得EF＝DE，利用“邊角邊”證明△ADE和△CEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD＝CF，然后判斷出四邊形BCFD是平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得；

（2）先判斷出△AEG≌△DEH（ASA），進而判斷出EF垂直平分GH，即可得出結論；

（3）如圖3，作輔助線構建全等三角形，先求出AG＝HD＝2，進而判斷出△PDH為30度的直角三角形，再用勾股定理求出HF即可得出結論．

（1）證明：（1）如圖1，延長DE到點F，使得EF＝DE，連接CF，

在△ADE和△CFE中，

，

∴△ADE≌△CFE（SAS），

∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，

∴CF∥AB，

又∵AD＝BD，

∴CF＝BD，

∴四邊形BCFD是平行四邊形，

∴DE∥BC，DE＝BC．

（2）如圖2，延長GE、FD交于點H，

∵E為AD中點，

∴EA＝ED，且∠A＝∠EDH＝90°，

在△AEG和△DEH中，

，

∴△AEG≌△DEH（ASA），

∴AG＝HD＝3，EG＝EH，

∵∠GEF＝90°，

∴EF垂直平分GH，

∴GF＝HF＝DH＋DF＝3＋7＝10；

（3）解：如圖3，過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，

同（1）可知△AEG≌△DEH，GF＝HF，

∴∠A＝∠HDE＝90°，AG＝HD＝2

∵∠ADC＝120°，

∴∠HDF＝360°90°120°＝150°，

∴∠HDP＝30°，

∴PH＝DH＝，PD＝3，

∴PF＝PD＋DF＝3＋4＝7，

在Rt△HFP中，∠HPF＝90°，HP＝，PF＝7，

∴HF＝=

∴GF＝．