Question

如圖①，已知∠ABC＝90°，△ABE是等邊三角形，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），連結AP，將AP繞點A逆時針旋轉60°得到線段AQ，連結QE并延長交射線BC于點F。

（1）如圖②，當BP＝BA時，∠EBF＝           ，猜想∠QFC＝           ；（2分）

（2）如圖①，當點P為射線BC上任意一點時，求證∠QFC＝60°；（4分）

（3）已知線段AB＝，設BP＝，點Q到射線BC的距離為，求關于的函數(shù)關系式。（4分）

 

Answer 1

解：（1）   30°...............................1分

         　 =  60°..................................1分

       （2）不妨設BP＞, 如圖1所示

∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP  

∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP

∴∠BAP=∠EAQ..........................................2分                 

在△ABP和△AEQ中  AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ

∴△ABP≌△AEQ（SAS）

∴∠AEQ=∠ABP=90°...............................3分

∴∠BEF

∴=60°……………............4分

(事實上當BP≤時，如圖2情形，不失一般性結論仍然成立，不分類討論不扣分）

 　　　　   (3)在圖1中，過點F作FG⊥BE于點G

     　　　 ∵△ABE是等邊三角形    　　∴BE=AB=，由（1）得30°

              在Rt△BGF中，     ∴BF=EF=2                 .......1分

     　　　 ∵△ABP≌△AEQ       ∴QE=BP=     ∴QF=QE＋EF_{................2分}

   _{過點Q作QH⊥BC，垂足為H，}

在Rt△QHF中，60°，

∴（x＞0）

_{即y關于x的函數(shù)關系式是：.......................................................4分}