Question

如圖甲，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長線于M，∠A=40°．
（1）求∠NMB的大小．
（2）如圖乙，如果將（1）中∠A的度數改為70°，其余條件不變，再求∠NMB的大小．
（3）根據（1）（2）的計算，你能發現其中的蘊涵的規律嗎？請寫出你的猜想并證明．
（4）如圖丙，將（1）中的∠A改為鈍角，其余條件不變，對這個問題規律的認識是否需要加以修改？請你把∠A代入一個鈍角度數驗證你的結論．

Answer 1

分析：（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，根據等腰三角形的性質，即可求得∠B的度數，又由AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長線于M，即可求得∠NMB的大小．
（2）求解方法同（1）；
（2）由在△ABC中，AB=AC，根據等腰三角形的性質，即可用∠A表示出∠B，又由AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長線于M，即可求得∠NMB與∠A的關系．
（4）解題方法同（1）．

解答：解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=∠ACB=

180°-∠A

2

=70°，
∵MN是AB的垂直平分線，
∴∠NMB=90°-∠B=20°；

（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，
∴∠B=∠ACB=

180°-∠A

2

=55°，
∵MN是AB的垂直平分線，
∴∠NMB=90°-∠B=35°；

（3）猜想：∠NMB=

1

2

∠A．
證明：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=

180°-∠A

2

=90°-

1

2

∠A，
∵MN是AB的垂直平分線，
∴∠NMB=90°-∠B=

1

2

∠A；

（4）不需要修改．
若∠A=100°，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=

180°-∠A

2

=40°，
∵MN是AB的垂直平分線，
∴∠NMB=90°-∠B=50°=

1

2

∠A．

點評：此題考查了等腰三角形的性質與線段垂直平分線的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．