Question

27、如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．解答下列問題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為

垂直

，數量關系為

相等

．
②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立．由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．結合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．
（2）當∠ACB=45°時，過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G，則∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．

解答：解：（1）①CF⊥BD，CF=BD …（2分）
故答案為：垂直、相等．
②成立，理由如下：…（3分）
∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
又  BA=CA      AD=AF
∴△BAD≌△CAF…（5分）
∴CF=BD∠ACF=∠ACB=45°
∴∠BCF=90°
∴CF⊥BD …（7分）

（2）當∠ACB=45°時可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）
過點A作AC的垂線與CB所在直線交于G      …（9分）
則∵∠ACB=45°
∴AG=AC∠AGC=∠ACG=45°
∵AG=AC，AD=AF
∴△GAD≌△CAF（SAS）    …（10分）
∴∠ACF=∠AGD=45°
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°
∴CF⊥BC           …（12分）

點評：本題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．