Question

如圖，邊長為3的兩個正方形互相重合，按住其中一個不動，將另一個繞頂點A順時針旋轉45°，則這兩個正方形重疊部分的面積是多少？

Answer 1

分析：連接AE，根據旋轉性質和正方形性質推出AD′=AD=AB，∠AD'E=∠D=∠B=90°，根據HL證△AD′E和△ABE全等，推出D′E=BE，推出CD′=D′E=BE，設BE=x，求出CE長，得出關于x的方程，求出x的值，根據三角形的面積公式求出即可．

解答：解：連接AE，
因為是繞頂點A順時針旋轉45°角，由旋轉的特征和正方形性質可知：
AD′落在AC上，AD′=AD=AB，∠AD′E=∠D=∠B=90°，
在Rt△AD'E和Rt△ABE中：AD′=AB，AE=AE，
∴Rt△AD′E≌Rt△ABE（HL），
∴D′E=BE，
∵AC是正方形對角線，
∴∠D′CE=45°，
∴∠D′EC=45°，
∴D′C=D′E，
設BE=x，則D′C=D′E=x，CE=

D′C2+D′E2

=

2

x，
∴x+

2

x=3，
解得：x=3(

2

-1)，
S_{四邊形AD′EB}=S_△ABC-S_△CD′E=

1

2

×3×3-

1

2

×3(

2

-1)×3(

2

-1)=9

2

-9，
答：這兩個正方形重疊部分的面積是9

2

-9．

點評：本題綜合考查了全等三角形性質和判定，三角形的面積，正方形的性質，旋轉的性質等知識點的應用，主要培養學生綜合運用性質進行推理的能力，本題綜合性比較強，有一定的難度，用了方程思想．