Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，邊長不等的正方形依次排列，每個正方形都有一個頂點落在函數y=x的圖象上，從左向右第3個正方形中的一個頂點A的坐標為（8，4），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S1、S2、S3、…、Sn，則Sn的值為__．（用含n的代數式表示，n為正整數）

Answer 1

【答案】24n﹣5

【解析】∵函數y=x與x軸的夾角為45°，

∴直線y=x與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形．

∵A（8，4），

∴第四個正方形的邊長為8，

第三個正方形的邊長為4，

第二個正方形的邊長為2，

第一個正方形的邊長為1，

…，

第n個正方形的邊長為2n﹣1．

由圖可知，S1=×1×1+×（1+2）×2﹣×（1+2）×2=，

S2=×4×4+×（2+4）×4﹣×（2+4）×4=8，

…，

Sn為第2n與第2n﹣1個正方形中的陰影部分，

第2n個正方形的邊長為22n﹣1，第2n﹣1個正方形的邊長為22n﹣2，

∴Sn=22n﹣222n﹣2=24n﹣5．

故答案為：24n﹣5．

點晴：找規律問題是中考試卷中的熱點問題，也是中考試卷中的難點所在，其難度大、區分度高，學生往往因找不到規律而無法解決此類問題，解決此類問題的關健是在于將變量（如正方形的邊長）與序號聯系在一起進行考慮，通過觀察、分析、思考、建模從而建立起求陰影面積的計算模型.