Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式．

（2）如圖，直線BC下方的拋物線上有一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，作DF平行x軸交直線BC于點(diǎn)F，求△DEF周長(zhǎng)的最大值．

（3）已知點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)N是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，且位于拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)，是否存在以點(diǎn)P，M，N，Q為頂點(diǎn)且以PM為邊的正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△DEF周長(zhǎng)的最大值為；（3）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或.

【解析】

（1）把A，B兩點(diǎn)代入求出解析式即可；

（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，可得△DEF周長(zhǎng)=DE+EF+DF=，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：，求出最大值即可；

（3）分兩種情況討論，由正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可求解．

解：（1）∵物線y=ax2+bx-3與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，

∴

解得：，

∴解析式為：；

（2）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-3），

∴直線BC解析式為：y=x-3，

∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，-3），

∴OB=OC=3，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵DF∥AB，

∴∠EFD=45°=∠OBC，

∵DE⊥BC，

∴∠EFD=∠EDF=45°，

∴DE=EF，

∴

∴

∴△DEF周長(zhǎng)=DE+EF+DF=

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：，

∴DF=，

∴當(dāng)時(shí)，DF有最大值為，

∴△DEF周長(zhǎng)=；

（3）存在，

如圖1，過(guò)點(diǎn)M作GH⊥OC，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥GH，連接MN，PM，

∵拋物線的解析式為，

∴點(diǎn)M（1，4），

∵以點(diǎn)P、M、N、Q為頂點(diǎn)且以PM為邊的正方形，

∴PM=MN，∠PMN=90°，

∴∠PMH+∠NMG=90°，且∠PMH+∠MPH=90°，

∴∠NMG=∠MPH，且MN=PM，∠H=∠NGM=90°，

∴△MNG≌△PMH（AAS），

∴GM=PH=1，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-3，

∴，

∴x=0（不合題意舍去），x=2，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，

如圖2，過(guò)點(diǎn)P作GH⊥AB，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥GH，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥GH，

∴△NGP≌△PHM，

可得NG=PH，GP=MH，

設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m，（m＞1）

∴NG=PH=m，

∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)為-4+m，

∴，

∴或（舍去），

綜上所述：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或.