Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，，，動點P從點A出發，在AC上以每秒5cm的速度向點C勻速運動，同時動點Q從點D出發，在DA邊上以每秒4cm的速度向點A勻速運動，運動時間為t秒（），連接PQ.

（1）若△APQ與△ADC相似，求t的值；

（2）連結CQ，DP，若，求t的值；

（3）連結BQ，PD，請問BQ能和PD平行嗎？若能，求出t的值：若不能，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；

（2）；

（3）不存在這樣的t，理由見詳解．

【解析】

1）根據相似三角形對應邊成比例，即可得到結論；
（2）過P作PM⊥AD于M，根據相似三角形的性質列比例式求得PM=3t，AM=4t，MD=8-4t，根據已知條件推出△PMD∽△QDC，根據相似三角形的性質列方程即可得到結論；
（3）設DP交BC于N，根據相似三角形的性質列比例式求得，得到，當BQ∥DP，得到四邊形BQDN是平行四邊形，根據平行四邊形的性質列方程即可得到結論．

解：（1）由題意得；QD=4t，AQ=8-4t，AP=5t，PC=10-t，
∵△APQ與△ADC相似，
∴情況①，當時，,

即： ，解得：；

情況②當時，,

即： ，解得：，

∴△APQ與△ADC相似時，或；

（2）

如圖1，過P作PM⊥AD于M，

∵∠ADC=90°，

∴PM∥CD，

∴△APM∽△ACD，，

∴,

∵AP=5t，
∴

∴化簡得出：PM=3t，AM=4t，MD=8-4t，
∵CQ⊥DP，∴∠1=∠2，
∵∠PMD=∠CDQ=90°，
∴△PMD∽△QDC，
∴,即：

解得：；

（3）

設DP交BC于N，

∴依題意得：，，
∵AD∥BC，
∴△ADP∽△CNP，

∴

∴，

∴，

當BQ∥DP，則四邊形BQDN是平行四邊形，
∴BN=QD，
即：

解得：，

當時，，，與題意不符，
∴不存在這樣的t．