Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，E為CD上一動點，AE交BD于F，過F作FH⊥AE交BC于點H，過H作HG⊥BD于G，連結AH．在以下四個結論中：①AF＝HE；②∠HAE＝45°；③FC＝2；④△CEH的周長為12．其中正確的結論有_____．

Answer 1

【答案】②④．

【解析】

①作輔助線，延長HF交AD于點L，連接CF，通過證明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需證明FC=FH，可證：AF=FH；
②由FH⊥AE，AF=FH，可得：∠HAE=45°；
③F是動點，CF的長度不是定值；
④作輔助線，延長AD至點M，使AD=DM，過點C作CI∥HL，則IL=HC，可證AL=HE，再根據△MEC≌△MIC，可證：CE=IM，故△CEH的周長為邊AM的長，為定值．

解：①連接FC，延長HF交AD于點L，

∵BD為正方形ABCD的對角線，
∴∠ADB=∠CDF=45°．
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°．
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC．
∴FH=AF．故①錯誤，
②∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45°．
③∵F是動點，CF的長度不是定值，本選項錯誤；
④延長AD至點M，使AD=DM，過點C作CI∥HL，則：LI=HC，

根據△MEC≌△CIM，可得：CE=IM，
同理，可得：AL=HE，
∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=12．
∴△CEH的周長為12，為定值．
故②④結論都正確．
故答案為②④．