Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：y=kx+b交y軸于點A（0，1），交x軸于點B（3，0）.平行于y軸的直線x=1交AB于點D，交x軸于點E，點P是直線x=1上一動點，且在點D的上方，設P（1，n）.

（1）求直線AB的表達式；

（2）求△ABP的面積（用含n的代數式表示）；

（3）當S△ABP=2時，以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接寫出點C的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）n﹣1；(3) （3，4）或（5，2）或（3，2）

【解析】

（1）利用待定系數法求直線AB的解析式；

（2）根據鉛直高度與水平寬度的積可得三角形的面積；

（3）先計算當S△ABP＝2時，P的坐標，以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，分三種情況討論：分別以三個頂點為直角頂點畫三角形，根據圖形可得C的坐標．

（1）設直線AB的解析式是y＝kx+b，

把點A（0，1），點B（3，0）代入得：解得：，

∴直線AB的解析式是：y＝﹣x+1；

（2）∵P（1，n），

∴D（1，），即PD＝n﹣，

∴S△ABP＝PDOB＝（n﹣）×3＝n﹣1；

（3）當S△ABP＝2時，2＝n﹣1，解得n＝2，

∴點P（1，2）．

∵E（1，0），

∴PE＝BE＝2，

∴∠EPB＝∠EBP＝45°

①如圖1，∠CPB＝90°，BP＝PC，

過點C作CN⊥直線x＝1于點N．

∵∠CPB＝90°，∠EPB＝45°，

∴∠NPC＝∠EPB＝45°．

又∵∠CNP＝∠PEB＝90°，BP＝PC，

∴△CNP≌△BEP，

∴PN＝NC＝EB＝PE＝2，

∴NE＝NP+PE＝2+2＝4，

∴C（3，4）．

②如圖2，∠PBC＝90°，BP＝BC，

過點C作CF⊥x軸于點F．

∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，

∴∠CBF＝∠PBE＝45°．

又∵∠CFB＝∠PEB＝90°，BC＝BP，

∴△CBF≌△PBE．

∴BF＝CF＝PE＝EB＝2，

∴OF＝OB+BF＝3+2＝5，

∴C（5，2）．

③如圖3，∠PCB＝90°，

∴∠CPB＝∠EBP＝45°，

∠CPB＝∠EBP，BP＝BP，∠PCB＝∠PEB＝90°

∴△PCB≌△BEP，

∴PC＝CB＝PE＝EB＝2，

∴C（3，2）．

∴以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，

綜上所述點C的坐標是（3，4）或（5，2）或（3，2）．