Question

（2009•朝陽區二模）將邊長OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐標系中，頂點O為原點，頂點C、A分別在x軸和y軸上．在OA、OC邊上選取適當的點E、F，連接EF，將△EOF沿EF折疊，使點O落在AB邊上的點D處．

（1）如圖1，當點F與點C重合時，OE的長度為______；
（2）如圖2，當點F與點C不重合時，過點D作DG∥y軸交EF于點T，交OC于點G．求證：EO=DT；
（3）在（2）的條件下，設T（x，y），寫出y與x之間的函數關系式為______，自變量x的取值范圍是______；
（4）如圖3，將矩形OABC變為平行四邊形，放在平面直角坐標系中，且OC=10，OC邊上的高等于8，點F與點C不重合，過點D作DG∥y軸交EF于點T，交OC于點G，求出這時T（x，y）的坐標y與x之間的函數關系式（不求自變量x的取值范圍）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據折疊的性質可得出DE=OE，OC=CD．
如果設出E點的坐標，可用E的縱坐標表示出AE、ED的長．
可根據相似三角形ADE和CDB得出的關于AE，BC，AD，BD的比例關系式求出E點的縱坐標．也就求出了E的坐標和OE的長．
（2）本題可通過證DT=OE來求出，如果連接OD，那么EF必垂直平分OD，如果設OD與EF的交點為P，那么OP=DP，△OEP≌△DPT，可得DT=OE；
（3）可先根據T的坐標表示出AD，AE，然后可在直角三角形ADE中表示出DE．而DE又可用AO-AE表示．可以此來求出y，x的函數關系式．
在（1）中給出的情況就是x的最小值的狀況，可根據AD的長求出x的最小值，當x取最大值時，EF平分∠OAB，即E′與A重合，四邊形EOGD為正方形，可據此求出此時x的值．有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范圍．
（4）的結論和（3）完全相同，求法也幾乎完全一樣．
解答：（1）5．
解：根據題意，運用勾股定理得BD=6，AD=4．
設OE=x，則DE=x，AE=8-x．
在Rt△ADE中，x²=（8-x）²+4²，
解得x=5．即OE=5．

（2）證明：如圖1，∵△EDF是由△EFO折疊得到的，
∴∠1=∠2．
又∵DG∥y軸，∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴DE=DT．
∵DE=EO，
∴EO=DT．

（3）y=-x²+4．
4＜x≤8．

（4）解：如圖2，連接OT，
由折疊性質可得OT=DT．
∵DG=8，TG=y，
∴OT=DT=8-y．
∵DG∥y軸，
∴DG⊥x軸．
在Rt△OTG中，∵OT²=OG²+TG²，
∴（8-y）²=x²+y²．
∴y=-x²+4．
點評：本題主要考查了矩形和平行四邊形的性質，三角形相似和全等，圖形的翻折變換，二次函數的應用等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．