Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，,E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線相較于點F.若△BCD是等腰三角形，則四邊形BDFC的面積為_______________。

Answer 1

【答案】5或20．

【解析】

先證明四邊形BDFC是平行四邊形；當△BCD是等腰三角形求面積時，需分①BC=BD時，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四邊形的面積公式列式計算即可得解；②BC=CD時，過點C作CG⊥AF于G，判斷出四邊形AGCB是矩形，再根據矩形的對邊相等可得AG=BC=5，然后求出DG=3，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四邊形的面積列式計算即可得解；③BD=CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC=2AD=4，矛盾．

證明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
在△BEC與△FED中，

∴△BEC≌△FED，
∴BE=FE，
又∵E是邊CD的中點，
∴CE=DE，
∴四邊形BDFC是平行四邊形；

（1）BC=BD=5時，由勾股定理得，AB===，
所以，四邊形BDFC的面積=5×=5 ；
（2）BC=CD=5時，過點C作CG⊥AF于G，則四邊形AGCB是矩形，
所以，AG=BC=5，
所以，DG=AG-AD=5-2=3，由勾股定理得，CG===4，
所以，四邊形BDFC的面積=4×5=20；
（3）BD=CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC=2AD=4，矛盾，此時不成立；
綜上所述，四邊形BDFC的面積是5或20．

故答案為：5或20．