Question

【題目】已知如圖：拋物線與軸交于兩點（點在點的左側）與軸交于點，點為拋物線的頂點，過點的對稱軸交軸于點.

（1）如圖1，連接，試求出直線的解析式；

（2）如圖2，點為拋物線第一象限上一動點，連接，，，當四邊形的面積最大時，線段交于點，求此時:的值；

（3）如圖3，已知點，連接，將沿著軸上下平移（包括）在平移的過程中直線交軸于點，交軸于點，則在拋物線的對稱軸上是否存在點，使得是以為直角邊的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=-x+；（2）；（3）G1（2，）,G2（2，-7），G3（2，-3）G4（2，-）

【解析】

試題分析：（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得A、B點坐標，根據頂點坐標的定義，可得D點坐標，根據待定系數法，可得答案；

（2）根據平行于BC且與拋物線相切，可得過P點平行BC的直線，根據解方程組，可得P點坐標，根據解方程組，可得F點坐標，根據相似三角形的性質，可得答案；

（3）根據平移的性質，可得直線MN的解析式，根據全等三角形的判定與性質，可得關于b的方程，根據解方程，可得b，根據b的值，可得OM的長，可得EG的長，可得答案．

試題解析：（1）在y=-x2+2x+中，

令y=0，則-x2+2x+=0，

解得：x1=-1．x2=5，

則A的坐標是（-1，0），B的坐標是（5，0）．

拋物線y=-x2+2x+的對稱軸是x=2，

把x=2代入解析式得y=，則D的坐標是（2，）．

設直線BD的解析式是y=kx+b，

根據題意得：，

解得：，

則直線BD的解析式是y=-x+；

（2）連接BC，如圖2，

y=-x2+2x+中，令x=0，則y=，則C的坐標是（0，）．

設BC的解析式是y=mx+n，

則，

解得：，

則直線BC的解析式是y=-x+．

設與BC平行且與拋物線只有一個公共點的直線的解析式是y=-x+d．

則-x2+2x+=-x+d，

即x2-5x+（2d-10）=0，

當△=0時，x=，

代入y=-x2+2x+中得：y=，

則P的坐標是（， ）．

又∵C的坐標是（0，），

設CP的解析式是y=ex+f，則

解得：，

則直線CP的解析式是y=x+．

根據題意得：，

解得：，

則F的坐標是（，）．

則；

（3）如圖3，

設BK的解析式是y=kx+b，

則，

解得：，

則直線BK的解析式是y=x-2，

MN的解析式為y=x+b，

當y=0時，x=-b，即M（-b，0），ME=-b-2．

當x=0時，y=b，即N（0，b）．

由△GMN是以MN為腰的等腰直角三角形，得

MG=MN，∠GMN=90°．

∵∠MGE+∠GME=90°，∠GME+∠EMN=90°，

∴∠MGE=∠AMN．

在△GME和△MNA中，

，

∴△GME≌△MNO（AAS），

∴ME=ON，EG=OM，

即-b-2=-b．

解得b=-．

EG=OM=-b=，

G1點的坐標為（2，）．

同理可求：G2（2，-7），G3（2，-3）G4（2，-）