Question

【題目】（問題背景）

（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明∠A+∠B＝∠C+∠D

（簡單應用）

（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝28°，∠ADC＝20°，求∠P的度數（可直接使用問題（1）中的結論）

（問題探究）

（3）如圖3，直線BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，若∠A＝30°，∠C＝18°，則∠P的度數為　 　

（拓展延伸）

（4）在圖4中，若設∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數量關系為　 　（用x、y表示∠P）

（5）在圖5中，BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P與∠A、∠C的關系，直接寫出結論　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）24°；（3）24°；（4）∠P=x+y；（5）∠P=

【解析】

（1）根據三角形內角和為180°，對頂角相等，即可證得∠A+∠B=∠C+∠D

（2）由（1）的結論得：∠BCP+∠P=∠BAP+∠ABC①，∠PAD+∠P=∠PCD+∠ADC②，將兩個式子相加，已知AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，可得∠BAP=∠PAD，∠BCP=∠PCD，可證得∠P=(∠ABC+∠ADC)，即可求出∠P度數．

（3）已知直線BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，可得∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）的結論得：∠C+180°-∠3=∠P+180°-∠1，∠A+∠4=∠P+∠2，兩式相加即可求出∠P的度數．

（4）由（1）的結論得：∠CAB+∠C=∠P+∠CDB，∠CAB+∠P=∠B+∠CDB，第一個式子乘以3，得到的式子減去第二個式子即可得出用x、y表示∠P

（5）延長AB交DP于點F，標注出∠1，∠2，∠3，∠4，由（1）的結論得：∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3，其中根據對頂角相等，三角形內角和，以及外角的性質即可得到∠1=∠PBF=180°-∠BFP-∠P=180°-(∠A+∠3)-∠P，代入∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3，即可得出∠P與∠A、∠C的關系．

（1）如圖1，

∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD=180°

∵∠AOB=∠COD

∴∠A+∠B=∠C+∠D

（2）∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD

∴∠BAP=∠PAD，∠BCP=∠PCD，

由（1）的結論得：∠BCP+∠P=∠BAP+∠ABC①，∠PAD+∠P=∠PCD+∠ADC②

①+②，得2∠P+∠PAD+∠BCP=∠BAP+∠ABC +∠PCD+∠ADC

∴∠P=(∠ABC+∠ADC)

∴∠ABC＝28°，∠ADC＝20°

∴∠P=(28°+20°)

∴∠P=24°

故答案為：24°

（3）∵如圖3，直線BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，

∴∠1=∠2，∠3=∠4

由（1）的結論得：∠C+180°-∠3=∠P+180°-∠1①，∠A+∠4=∠P+∠2②

①+②，得∠C+180°-∠3+∠A+∠4=∠P+180°-∠1+∠P+∠2

∴30°+18°=2∠P

∴∠P=24°

故答案為：24°

（4）由（1）的結論得：∠CAB+∠C=∠P+∠CDB①，∠CAB+∠P=∠B+∠CDB②

①×3，得∠CAB+3∠C=3∠P+∠CDB③

②-③，得∠P-3x=y-3∠P

∴∠P=x+y

故答案為：∠P=x+y

（5）如圖5所示，延長AB交DP于點F

由（1）的結論得：∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3

∵∠1=∠PBF=180°-∠BFP-∠P=180°-(∠A+∠3)-∠P

∴∠A+360°-2∠A-2∠3-2∠P=∠C+180°-2∠3

解得：∠P=

故答案為：∠P=