Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+1與x軸，y軸分別交于B，A兩點，動點P在線段AB上移動，以P為頂點作∠OPQ=45°交x軸于點Q．

（1）求點A和點B的坐標；

（2）比較∠AOP與∠BPQ的大小，說明理由．

（3）是否存在點P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，1），B（1，0）；（2）∠AOP=∠BPQ，理由詳見解析；（3）點P坐標為（0，1），（）或（1）時，△OPQ是等腰三角形．

【解析】

（1）根據直線y=﹣x+1即可求得A、B的坐標；

（2）根據OA=OB，求得△AOB是等腰直角三角形，得出∠OAB=∠OBA=45°，根據三角形外角的性質即可得出結論．

（3）假設存在等腰三角形，分三種情況討論：（ⅰ）OP=OQ；（ⅱ）QP=QO；（ⅲ）PO=PQ．能求出P點坐標，則存在點P，否則，不存在．

（1）∵直線y=﹣x+1與x軸，y軸分別交于A，B兩點，令x=0，則y=0+1=1，∴A（0，1），令y=0，則0=﹣x+1，解得：x=1，∴B（1，0）．

（2）∠AOP=∠BPQ．理由如下：

∵A（0，1），B（1，0），∴OA=OB=1，∴∠OAB=∠OBA=45°．

∵∠OAP+∠AOP=∠OPB=∠OPQ+∠BPQ，∴45°+∠AOP=45°+∠BPQ，∴∠AOP=∠BPQ．

（3）△OPQ可以是等腰三角形．理由如下：

如圖，過P點PE⊥OA交OA于點E．分三種情況討論：

（ⅰ）若OP=OQ，則∠OPQ=∠OQP，∴∠POQ=90°，∴點P與點A重合，∴點P坐標為（0，1）；

（ⅱ）若QP=QO，則∠OPQ=∠QOP=45°，所以PQ⊥QO，可設P（x，x）代入y=﹣x+1得x，∴點P坐標為（）；

（ⅲ）若PO=PQ．

∵∠OPQ+∠1=∠2+∠3，而∠OPQ=∠3=45°，∴∠1=∠2．

又∵∠3=∠4=45°，∴△AOP≌△BPQ（AAS），PB=OA=1，∴AP1．

由勾股定理求得：PE=AE=1，∴EO，∴點P坐標為（1）．

綜上所述：點P坐標為（0，1），（）或（1）時，△OPQ是等腰三角形．