Question

【題目】如圖、，在平行四邊形中，、的角平分線、分別與線段兩側的延長線（或線段）相交與、，與相交于點.

（1）在圖中，求證：，.

（2）在圖中，仍有（1）中的，成立，請解答下面問題：

①若，，，求和的長；

②是否能給平行四邊形的邊和角各添加一個條件，使得點恰好落在邊上且為等腰三角形？若能，請寫出所給條件；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，，②，，見解析.

【解析】

（1）由平行線的性質和角平分線的性質即可證明結論；

（2）①由（1）題的思路可求得FG的長，再證明△BCG是等邊三角形，從而得，過點作交延長線于點，在Rt△AFH中用勾股定理即可求出AF的長；

②若使點恰好落在邊上且為等腰三角形，易得F、G兩點重合于點E，再結合（1）（2）的結論進行分析即可得到結論.

解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，.

∴，

又∵、是與的角平分線，

∴，即∠AEB=90°，

∴，

∵，∴，

又∵是的角平分線、

∴，

∴.

同理可得.

∴；

（2）解：①由已知可得，、仍是與的角平分線且，

，，，

.

如圖，過點作交延長線于點.

∵，，.

.

∵，，，

，，，

.

②，（類似答案均可）.

若使點恰好落在邊上，則易得F、G兩點重合于點E，又由（1）（2）的結論知，，所以平行四邊形的邊應滿足；

若使點恰好落在邊上且為等腰三角形，則EA=EB，所以∠EAB=∠EBA，

又因為、仍是與的角平分線，所以∠CBA=∠BAD=90°，所以∠C=90°.