Question

【題目】如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．動點P從點B出發，沿射線BC的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q同時從點A出發，在線段AD上以每秒1個單位長的速度向點D運動，當其中一個動點到達端點時另一個動點也隨之停止運動．設運動的時間為t（秒）．
（1）設△DPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；
（2）當t為何值時，四邊形PCDQ是平行四邊形？
（3）分別求出當t為何值時，①PD=PQ，②DQ=PQ．

Answer 1

【答案】（1）解：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16，
依題意AQ=t，BP=2t，則DQ=16﹣t，PC=21﹣2t，
過點P作PE⊥AD于E，
則四邊形ABPE是矩形，PE=AB=12，
∴S△DPQ=DQAB=（16﹣t）×12=﹣6t+96．
（2）當四邊形PCDQ是平行四邊形時，PC=DQ，
∴21﹣2t=16﹣t解得：t=5，
∴當t=5時，四邊形PCDQ是平行四邊形．
（3）∵AE=BP=2t，PE=AB=12，
①當PD=PQ時，QE=ED=QD，
∵DE=16﹣2t，
∴AE=BP=AQ+QE，即2t=t+16﹣2t，
解得：t= ，
∴當t=時，PD=PQ
②當DQ=PQ時，DQ2=PQ2
∴t2+122=（16﹣t）2解得：t=
∴當t=時，DQ=PQ

【解析】（1）S△QDP=DQAB，由題意知：AQ=t，DQ=AD﹣AQ=16﹣t，將DQ和AB的長代入，可求出S與t之間的函數關系式；
（2）當四邊形PCDQ為平行四邊形時，PC=DQ，即16﹣t=21﹣2t，可將t求出；
（3）當PD=PQ時，可得：AD=3t，從而可將t求出；當DQ=PQ時，根據DQ2=PQ2即：t2+122=（16﹣t）2可將t求出．