Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，將一塊腰長為 的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標軸上，直角頂點C的坐標為（﹣1，0），點B在拋物線y=ax2+ax﹣2上．

（1）點A的坐標為 ， 點B的坐標為；
（2）拋物線的解析式為；
（3）設（2）中拋物線的頂點為D，求△DBC的面積；
（4）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（0，2）；（﹣3，1）
（2）y= x2+ x﹣2
（3）

解：由（2）中拋物線的解析式可知，拋物線的頂點D（﹣ ，﹣ ），

設直線BD的關系式為y=kx+b，將點B、D的坐標代入得：

，

解得 ．

∴BD的關系式為y=﹣ x﹣ ．

設直線BD和x 軸交點為E，則點E（﹣ ，0），CE= ．

∴S△DBC= × ×（1+ ）=

（4）

解：假設存在點P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：

①若以點C為直角頂點；

則延長BC至點P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，

過點P1作P1M⊥x軸，

∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCF，∠P1MC=∠BFC=90°，

∴△MP1C≌△FBC．

∴CM=CF=2，P1M=BF=1，

∴P1（1，﹣1）；

②若以點A為直角頂點；

i）則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，

過點P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，

∴NP2=OA=2，AN=OC=1，

∴P2（2，1），

ii）若以點P為直角頂點．

過P3作P3G⊥y軸于G，

同理，△AGP3≌△CAO，

∴GP3=OA=2，AG=OC=1，

∴P3為（﹣2，3）．

經檢驗，點P1（1，﹣1）與點P2（2，1）都在拋物線y= x2+ x﹣2上，點P3（﹣2，3）不在拋物線上．

故點P的坐標為P1（1，﹣1）與P2（2，1）．

【解析】解：（1）∵C（﹣1，0），AC= ，
∴OA= =2，
∴A（0，2）；
過點B作BF⊥x軸，垂足為F，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCF=90°，∠BCF+∠FBC=90°，
在△AOC與△CFB中，
∵ ，
∴△AOC≌△CFB，
∴CF=OA=2，BF=OC=1，
∴OF=3，
∴B的坐標為（﹣3，1），
故答案為：（0，2），（﹣3，1）；
·（2）∵把B（﹣3，1）代入y=ax2+ax﹣2得：
1=9a﹣3a﹣2，
解得a= ，
∴拋物線解析式為：y= x2+ x﹣2．
故答案為：y= x2+ x﹣2；
（1）先根據勾股定理求出OA的長，即可得出點A的坐標，再求出OE、BE的長即可求出B的坐標；（2）把點B的坐標代入拋物線的解析式，求出a的值，即可求出拋物線的解析式；（3）先求出點D的坐標，再用待定系數法求出直線BD的解析式，然后求出CF的長，再根據S△DBC=S△CEB+S△CED進行計算即可；（4）假設存在點P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：
①若以點C為直角頂點；則延長BC至點P1 ， 使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1 ， 過點P1作P1M⊥x軸，由全等三角形的判定定理可得△MP1C≌△FBC，再由全等三角形的對應邊相等可得出點P1點的坐標；
②若以點A為直角頂點；則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2 ， 過點P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，由全等三角形的性質可得出點P2的坐標；點P1、P2的坐標代入拋物線的解析式進行檢驗即可．
③以點P為直角頂點，求出點P的坐標，再判斷點P不在拋物線上．