Question

【題目】如圖1，為坐標原點，矩形的頂點，，將矩形繞點按順時針方向旋轉一定的角度得到矩形，此時邊、直線分別與直線交于點、．

（1）連接，在旋轉過程中，當時，求點坐標．

（2）連接，當時，若為線段中點，求的面積．

（3）如圖2，連接，以為斜邊向上作等腰直角，請直接寫出在旋轉過程中的最小值．

Answer 1

【答案】（1）P（﹣4，6）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用∠PAO＝∠POA得出PA＝PO，進而得出AE＝EO＝4，即可得出P點坐標；

（2）首先得出Rt△OCQ≌Rt△OC'Q（HL），進而利用平行線的性質求出∠POQ＝∠PQO，即可得出BP＝PO，再利用勾股定理得出PQ的長，進而求出△OPQ的面積；

（3）先構造一組手拉手的相似三角形，將CM的長轉化為，然后通過垂線段最短及全等三角形求解即可．

解：如圖1，過點P作PE⊥AO于點E，

∵，

∴AO＝8，

∵∠PAO＝∠POA

∴PA＝PO，

∵PE⊥AO，

∴AE＝EO＝4，

∴P（﹣4，6）；

（2）如圖2，在Rt△OCQ和Rt△OC'Q中，

，

∴Rt△OCQ≌Rt△OC'Q（HL），

∴∠OQC＝∠OQC'，

又∵OP∥C'Q，

∵∠POQ＝∠OQC'，

∴∠POQ＝∠PQO，

∴PO＝PQ，

∵點P為BQ的中點，

∴BP＝QP，

∴設BP＝OP＝x，

在Rt△OPC中，OP 2＝PC 2＋ OC 2，

∴x2＝（8﹣x）2＋62，

解得：x＝．

故S△OPQ＝×CO×PQ＝×6×＝．

（3）如圖3，連接CM、AC，在AC的右側以AC為腰，∠ACG為直角作等腰直角三角形ACG，連接QG，

∵△AMQ與△ACG為等腰直角三角形，

∴ ，∠MAQ＝∠CAG＝45°，

∴，∠MAC＝∠QAG

∴△MAC∽△QAC，

∴，

∴，

∵點Q在直線BC上，

∴當GQ⊥BC時，GQ取得最小值，

如圖3，作GH⊥BC，則GQ的最小值為線段GH的長，

∵∠ACG＝∠B＝90°，

∴∠ACB＋∠GCH＝∠ACB＋∠BAC＝90°，

∴∠GCH＝∠BAC，

又∵∠B＝∠GHC＝90°，AC＝CG，

∴△ABC≌△CHG（AAS）

∴GH＝BC＝8

∴GQ的最小值為8，

∴CM的最小值為．