Question

【題目】如圖所示，平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的邊AB=4，BC=6．在不改變矩形ABCD的形狀和大小的情況下，當矩形的頂點A在x軸的正半軸上左右移動時，另一個頂點D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動．

（1）當∠OAD=30°時，求點C的坐標；

（2）設AD的中點為M，連接OM、MC，若四邊形OMCD的面積為時，求OA的長；

（3）在點A移動過程中是否存在某一位置，使點C到點O的距離有最大值?若存在，求此時的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點的坐標為；（2）；（3）存在，的最大值為8．

【解析】

(1)作CE⊥y軸，先證∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝CD＝2，DE＝，再由∠OAD＝30°知OD＝AD＝3，從而得出點C坐標；

(2)先求出S△DCM＝6，結合S四邊形OMCD＝知S△ODM＝，S△OAD＝9，設OA＝x、OD＝y，據此知x2+y2＝36，xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝36求得x的值，從而得出答案；

(3)由M為AD的中點，知OM＝3，CM＝5， OM+CM＝8，分兩種情況，即當O、M、C三點不在同一條直線和三點共線時，分別進行判斷解決即可.

(1)如圖1，過點C作CE⊥y軸于點E，

∵矩形ABCD中，CD⊥AD，

∴∠CDE+∠ADO＝90°，

又∵∠OAD+∠ADO＝90°，

∴∠CDE＝∠OAD＝30°，

∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，

在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，

∴OD＝AD＝3，

∴點C的坐標為(2，3+2)；

(2)∵M為AD的中點，

∴DM＝3，S△DCM＝6，

又S邊形OMCD＝，

∴S△ODM＝，

∴S△OAD＝9，

設OA＝x、OD＝y，則x2+y2＝36，xy＝9，

∴x2+y2＝2xy，即x＝y，

將x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，

解得x＝3 (負值舍去)，

∴OA＝3；

(3)OC的最大值為8，

如圖2，M為AD的中點，

∴OM＝3，CM＝＝5，

∴OM+CM＝8.

當O、M、C三點不在同一條直線時，在△OCM中，

OC＜OM+CM＝8.

當A點運動，使得O、M、C三點在同一直線時，

此時OC= OM+CM＝8，為OC的最大值．