Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，∠GEF=90°．

（1）若∠AGE=50°,求∠DFE的度數；

（2）若AG=2，DF=3，求GF的長；

（3）拓展研究：

如圖2，在四邊形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG=3，DF=2，∠GEF=90°，求GF的長．

Answer 1

【答案】（1）∠DFE=40°；（2）GF=5；（3）GF=．

【解析】試題分析：（1）由正方形的性質得到∠A=∠D=90°，由∠AGE=50°，得到∠GEA的度數．由∠GEF=90°，得到∠FED的度數．再由直角三角形兩銳角互余即可得到結論；

（2）延長GE、FD交于點H，可證得△AEG≌△DEH，結合條件可證明EF垂直平分GH，可得GF=FH，可求得GF的長；

（3）過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，可證明△AEG≌△DEH，結合條件可得到△HPD為等腰直角三角形，可求得PF的長，在Rt△HFP中，可求得HF，則可求得GF的長．

試題解析：解：（1）∵ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，∵∠AGE=50°，∴∠GEA=90°－50°=40°．∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FED=90°，∴∠FED=90°－40°=50°．∵∠D=90°，∴∠DFE=90°－50°=40°．

（2）如圖2，延長GE、FD交于點H．∵E為AD中點，∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°．在△AEG和△DEH中，∵∠A=∠HDE，EA=ED，∠AEG=∠HED，∴△AEG≌△DEH（ASA），∴AG=HD=2，EG=EH．∵∠GEF=90°，∴EF垂直平分GH，∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；

（3）如圖3，過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF．同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=3．∵∠ADC=120°，∴∠HDF=360°﹣105°﹣120°=135°，∴∠HDP=45°，∴△PDH為等腰直角三角形，∴PD=PH=，∴PF=PD+DF==．在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=，PF=，∴HF===，∴GF=．