Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC=12cm，∠B=∠C，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．

（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．

①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；

②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？

（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過多少秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

Answer 1

【答案】（1）①△BPD≌△CPQ；②3cm/s；（2）24秒，AC

【解析】

對于（1）①，根據(jù)題意求出PC、BD，結(jié)合已知確定PC與BD、BP與CQ的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可解答；

對于（1）②，由題意知BP≠CQ，要使△BPD與△CQP全等，則BP=PC，CQ=BD=6cm，從而求出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；

對于（2），結(jié)合P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度可知：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇時(shí)，則點(diǎn)Q比點(diǎn)P多走AB+AC的長度，結(jié)合相遇問題中的基本公式列方程求解，即可確定兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間，求出此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程；

求出△ABC的周長，結(jié)合點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)運(yùn)動(dòng)，即可分析兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)在三角形的哪一條邊上.

解：（1）①△BPD≌△CPQ

∵t=1

∴BP=CQ=2×1=2cm

∵AB=12cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)

∴BD=6cm．

又∵PC=BC-BP，BC=8cm，∴PC=8-2=6cm，∴PC=BD．

又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CPQ中，

∴△BPD≌△CQP（SAS）．

②∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等

∴BP≠CQ

又∵△BPD與△CPQ全等，∠B=∠C

∴BP=PC=4cm，CQ=BD=6cm

∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4÷2=2s

∴Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為6÷2=3（cm/s）

（2）24秒，AC

設(shè)經(jīng)過t秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．

由題意：3t-2t=24，∴t=24，∴24×3=72．

∵△ABC的周長為32，∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇在AC邊上．

故答案為：24秒，AC．