Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸上，點B坐標為（4，t）（t＞0），二次函數y=x2+bx（b＜0）的圖象經過點B，頂點為點D．

（1）當t=12時，頂點D到x軸的距離等于；
（2）點E是二次函數y=x2+bx（b＜0）的圖象與x軸的一個公共點（點E與點O不重合），求OEEA的最大值及取得最大值時的二次函數表達式；
（3）矩形OABC的對角線OB、AC交于點F，直線l平行于x軸，交二次函數y=x2+bx（b＜0）的圖象于點M、N，連接DM、DN，當△DMN≌△FOC時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）解：將y=0代入拋物線的解析式得：x2+bx=0，解得x=0或x=﹣b，

∵OA=4，

∴AE=4﹣（﹣b）=4+b．

∴OEAE=﹣b（4+b）=﹣b2﹣4b=﹣（b+2）2+4，

∴OEAE的最大值為4，此時b的值為﹣2，

∴拋物線的表達式為y=x2﹣2x．

（3）解：過D作DG⊥MN，垂足為G，過點F作FH⊥CO，垂足為H．

∵△DMN≌△FOC，

∴MN=CO=t，DG=FH=2．

∵D（﹣ ，﹣ ），

∴N（﹣ + ，﹣ +2），即（ ， ）．

把點N和坐標代入拋物線的解析式得： =（ ）2+b（ ），

解得：t=±2 ．

∵t＞0，

∴t=2 ．

【解析】（1）當t=12時，B（4，12）．

將點B的坐標代入拋物線的解析式得：16+4b=12，解得：b=﹣1，

∴拋物線的解析式y=x2﹣x．

∴y=（x﹣ ）2﹣ ．

∴D（ ， ）．

∴頂點D與x軸的距離為 ．

所以答案是： ．