Question

已知m，n是方程x²-6x+5=0的兩個實數根，且m＜n拋物線y=-x²+bx+c．的圖象經過點A（m，0），B（0，n）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）如圖，拋物線與x軸的另一交點為C，B為y軸拋物線的交點，若P是線段OC上的一點，過點P作PH⊥x軸，與拋物線交于點H，若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用因式分解法求出一元二次方程的解，從而得到點A、B的坐標，然后代入拋物線解析式，利用待定系數法求出b、c的值，即可得解；
（2）先利用待定系數法求出直線BC的解析式，然后設點P的坐標為（a，0），設PH與BC相交于點D，根據直線的解析式與拋物線的解析式求出PD、HD的長度，然后根據三角形的面積公式可得邊的比等于分成的兩三角形的面積的比，再分①PD：DH=2：3，②DH：PD=2：3兩種情況列式求解即可得到點P的坐標．

解答：解：（1）x²-6x+5=0，
（x-1）（x-5）=0，
∴x-1=0，x-5=0，
解得x=1，x=5，
∵m，n是方程x²-6x+5=0的兩個實數根，且m＜n，
∴m=1，n=5，
∴點A、B的坐標為A（1，0），B（0，5），
∴

-1+b+c=0 c=5

，
解得

b=-4 c=5

，
拋物線的解析式為y=-x²-4x+5；

（2）當y=0時，-x²-4x+5=0，
即x²+4x-5=0，
解得x₁=1，x₂=-5，
∴點C的坐標為（-5，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
則

b=5 -5k+b=0

，
解得

k=1 b=5

，
∴直線BC的解析式為y=x+5，
設PH與BC相交于點D，點P的坐標為（a，0），
則點D坐標為（a，a+5），點H坐標為（a，-a²-4a+5），
∴PD=a+5，DH=-a²-4a+5-（a+5）=-a²-5a，
∵直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，兩三角形的高都是點C到PH的距離，
∴①PD：DH=2：3時，（a+5）：（-a²-5a）=2：3，
解得a=-1.5，
此時點P的坐標為（-1.5，0），
②當DH：PD=2：3時，（-a²-5a）：（a+5）=2：3，
解得a=-

2

3

，
此時點P的坐標為（-

2

3

，0），
綜上所述，點P的坐標為（-1.5，0）或（-

2

3

，0）．

點評：本題是對二次函數的綜合考查了，有待定系數法求二次函數解析式，待定系數法求直線解析式，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，難度不大，仔細分析便不難求解．