Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上移動，但A到EF的距離AH始終保持與AB長相等，問在E、F移動過程中：
（1）∠EAF的大小是否有變化？請說明理由．
（2）△ECF的周長是否有變化？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠EAF的大小沒有變化．理由如下：

根據題意，知

AB=AH，∠B=90°，

又∵AH⊥EF，

∴∠AHE=90°，

∵AE=AE，

∴Rt△BAE≌Rt△HAE（HL），

∴∠BAE=∠HAE，

同理，△HAF≌△DAF，

∴∠HAF=∠DAF，

∴∠EAF=∠EAH+∠FAH= ∠BAH+ ∠HAD= （∠BAH+∠HAD）= ∠BAD，

又∵∠BAD=90°，

∴∠EAF=45°，

∴∠EAF的大小沒有變化．

（2）解：△ECF的周長沒有變化．理由如下：

∵由（1）知，Rt△BAE≌Rt△HAE，△HAF≌△DAF，

∴BE=HE，HF=DF，

∴C△EFC=EF+EC+FC=EB+DF+EC+FC=2BC，

∴△ECF的周長沒有變化．

【解析】（1）根據題意，求證△BAE≌△HAE，△HAF≌△DAF，然后根據全等三角形的性質求∠EAF= ∠BAD．（2）根據（1）的求證結果，用等量代換來計算△ECF的周長，如果結果是定量，就說明△ECF的周長沒有變化，反之，△ECF的周長有變化．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．