Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為，點(diǎn)P為對角線BD上一動點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BC上，

(1)填空：BD=______；

(2)若BE=t，連結(jié)PE、PC，求PE+PC的最小值(用含t的代數(shù)式表示);

(3)若點(diǎn)E是直線AP與射線BC的交點(diǎn)，當(dāng)△PCE為等腰三角形時，求∠PEC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）BD=2 （2） （3）120° 30°

【解析】.

（1）根據(jù)勾股定理計算即可；

（2）連接AP，當(dāng)AP與PE在一條線上時，PE+PC最小，利用勾股定理求出最小值；

（3）分兩種情況考慮：①當(dāng)E在BC延長線上時，如圖2所示，△PCE為等腰三角形，則CP=CE；②當(dāng)E在BC上，如圖3所示，△PCE是等腰三角形，則PE=CE，分別求出∠PEC的度數(shù)即可．

（1）BD==2 ；

（2）如圖1所示：當(dāng)AP與PE在一條線上時，PE+PC最小，

∵AB=，BE=t，

∴PE+PC的最小值為，

（3）分兩種情況考慮：

①當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時，

如圖2所示，△PCE是等腰三角形，則CP=CE，

∴∠CPE=∠CEP，

∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP，

∵在正方形ABCD中，∠ABC=90°，

∴∠PBA=∠PBC=45°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP，

∵∠BAP+∠PEC=90°，

∴2∠PEC+∠PEC=90°，

∴∠PEC=30°；

②當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，

如圖3所示，△PCE是等腰三角形，則PE=CE，

∴∠CPE=∠PCE，

∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠PBA=∠PBC=45°，

又AB=BC，BP=BP，

∴△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∵∠BAP+∠AEB=90°，

∴2∠BCP+∠BCP=90°，

∴∠BCP=30°，

∴∠AEB=60°，

∴∠PEC=180°-∠AEB=120° .