Question

【題目】把函數C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的圖象繞點P（m，0）旋轉180°，得到新函數C2的圖象，我們稱C2是C1關于點P的相關函數．C2的圖象的對稱軸與x軸交點坐標為（t，0）．

（1）填空：t的值為　 　（用含m的代數式表示）

（2）若a＝﹣1，當≤x≤t時，函數C1的最大值為y1，最小值為y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式；

（3）當m＝0時，C2的圖象與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的右側）．與y軸相交于點D．把線段AD原點O逆時針旋轉90°，得到它的對應線段A′D′，若線A′D′與C2的圖象有公共點，結合函數圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2m﹣1；（2）C2：y＝x2﹣4x；（3）0＜a或a≥1或a≤﹣．

【解析】

（1）C1：y＝ax22ax3a＝a（x1）24a，頂點（1，4a）圍繞點P（m，0）旋轉180°的對稱點為（2m1，4a），即可求解；（2）分≤t＜1、1≤t≤、t＞三種情況，分別求解,（3）分a＞0、a＜0兩種情況，分別求解．

解：（1）C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，

頂點（1，﹣4a）圍繞點P（m，0）旋轉180°的對稱點為（2m﹣1，4a），

C2：y＝﹣a（x﹣2m+1）2+4a，函數的對稱軸為：x＝2m﹣1，

t＝2m﹣1，

故答案為：2m﹣1；

（2）a＝﹣1時，

C1：y＝﹣（x﹣1）2+4，

①當≤t＜1時，

x＝時，有最小值y2＝，

x＝t時，有最大值y1＝﹣（t﹣1）2+4，

則y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+4﹣＝1，無解；

②1≤t≤時，

x＝1時，有最大值y1＝4，

x＝時，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，

y1﹣y2＝≠1（舍去）；

③當t＞時，

x＝1時，有最大值y1＝4，

x＝t時，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，

y1﹣y2＝（t﹣1）2＝1，

解得：t＝0或2（舍去0），

故C2：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；

（3）m＝0，

C2：y＝﹣a（x+1）2+4a，

點A、B、D、A′、D′的坐標分別為（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣3a，0），

當a＞0時，a越大，則OD越大，則點D′越靠左，

當C2過點A′時，y＝﹣a（0+1）2+4a＝1，解得：a＝，

當C2過點D′時，同理可得：a＝1，

故：0＜a≤或a≥1；

當a＜0時，

當C2過點D′時，﹣3a＝1，解得：a＝﹣，

故：a≤﹣；

綜上，故：0＜a≤或a≥1或a≤﹣．