Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=9cm．M是CD的中點，P是BC邊上的一動點（P與B，C不重合），連接PM并延長交AD的延長線于Q．
（1）試說明△PCM≌△QDM．
（2）當點P在點B、C之間運動到什么位置時，四邊形ABPQ是平行四邊形？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD∥BC

∴∠QDM=∠PCM

∵M是CD的中點，

∴DM=CM，

∵∠DMQ=∠CMP，

在△PCM和△QDM中

∵ ，

∴△PCM≌△QDM（ASA）

（2）解：當四邊形ABPQ是平行四邊形時，PB=AQ，

∵BC﹣CP=AD+QD，

∴9﹣CP=5+CP，

∴CP=（9﹣5）÷2=2．

∴當PC=2時，四邊形ABPQ是平行四邊形

【解析】（1）要證明△PCM≌△QDM，可以根據兩個三角形全等四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS中的ASA．利用∠QDM=∠PCM，DM=CM，∠DMQ=∠CMP即可得出；（2）得出P在B、C之間運動的位置，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出．