Question

【題目】有一列按一定順序和規律排列的數：
第一個數是 ；
第二個數是 ；
第三個數是 ；
…
對任何正整數n，第n個數與第（n+1）個數的和等于 ．
（1）經過探究，我們發現：
設這列數的第5個數為a，那么 ， ， ，哪個正確？
請你直接寫出正確的結論；
（2）請你觀察第1個數、第2個數、第3個數，猜想這列數的第n個數（即用正整數n表示第n數），并且證明你的猜想滿足“第n個數與第（n+1）個數的和等于 ”；
（3）設M表示 ， ， ，…， ，這2016個數的和，即 ，
求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意知第5個數a= = ﹣

（2）

解：∵第n個數為 ，第（n+1）個數為 ，

∴ + = （ + ）

= ×

= ×

= ，

即第n個數與第（n+1）個數的和等于

（3）

解：∵1﹣ = ＜ =1，

= ＜ ＜ =1﹣ ，

﹣ = ＜ ＜ = ﹣ ，

…

﹣ = ＜ ＜ = ﹣ ，

﹣ = ＜ ＜ = ﹣ ，

∴1﹣ ＜ + + +…+ + ＜2﹣ ，

即 ＜ + + +…+ + ＜ ，

∴

【解析】（1）由已知規律可得；（2）先根據已知規律寫出第n、n+1個數，再根據分式的運算化簡可得；（3）將每個分式根據 ﹣ = ＜ ＜ = ﹣ ，展開后再全部相加可得結論． 本題主要考查分式的混合運算及數字的變化規律，根據已知規律 = ﹣ 得到 ﹣ = ＜ ＜ = ﹣ 是解題的關鍵．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用分式的混合運算和數與式的規律的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握運算的順序:第一級運算是加法和減法;第二級運算是乘法和除法;第三級運算是乘方.如果一個式子里含有幾級運算,那么先做第三級運算,再作第二級運算,最后再做第一級運算;如果有括號先做括號里面的運算.如順口溜:"先三后二再做一,有了括號先做里."當有多層括號時,先算括號內的運算,從里向外{[(?)]}；先從圖形上尋找規律，然后驗證規律，應用規律，即數形結合尋找規律．