Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，對稱軸為直線l，點D（-4，n）在拋物線上．

（1）求直線CD的解析式；

（2）E為直線CD下方拋物線上的一點，連接EC，ED，當△ECD的面積最大時，在直線l上取一點M，過M作y軸的垂線，垂足為點N，連接EM，BN，若EM=BN時，求EM+MN+BN的值．

（3）將拋物線y=x2+2x-3沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經過原點O，y′與x軸的另一個交點為F，設P是拋物線y′上任意一點，點Q在直線l上，△PFQ能否成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若能，直接寫出點P的坐標，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線CD的解析式為y=-2x-3；（2）1+；（3）存在．滿足條件的點P坐標為（，）或（，）或（，）或（，）．

【解析】

（1）求出C、D兩點坐標，利用待定系數法即可解決問題；

（2）如圖1中，過點E作EG∥y軸交直線CD于G．設E（m，m2+2m﹣3）．則G（m，﹣2m﹣3），GE=﹣m2﹣4m．根據S△EDC=EG|Dx|=（﹣m2﹣4m）×4=﹣2（m+2）2+8，可知m=﹣2時，△DEC的面積最大，此時E（﹣2，﹣3），再證明Rt△EHM≌Rt△BON即可解決問題；

（3）存在．如圖2中．作P1M⊥x軸于M，P1N⊥對稱軸l于N．對稱軸l交OA于K，由△P1MF≌△P1NQ，推出P1M=P1N，推出點P在∠MKN的角平分線上，只要求出直線KP1的解析式，構建方程組即可解決問題，同法可求P3，P4．

（1）由題意得：C（0，﹣3），D（﹣4，5），設直線CD的解析式為y=kx+b，則有，解得：，∴直線CD的解析式為y=﹣2x﹣3．

（2）如圖1中，過點E作EG∥y軸交直線CD于G．設E（m，m2+2m﹣3）．則G（m，﹣2m﹣3），GE=﹣m2﹣4m．

∴S△EDC=EG|Dx|=（﹣m2﹣4m）×4=﹣2（m+2）2+8．

∵﹣2＜0，∴m=﹣2時，△DEC的面積最大，此時E（﹣2，﹣3）．

∵C（0，﹣3），∴EC∥AB，設CE交對稱軸于H．

∵B（1，0），∴EH=OB=1．

∵EM=BN，∴Rt△EHM≌Rt△BON，∴MH=ON=OC=，∴EM=BN==，∴EM+MN+BN=1+．

（3）存在．如圖2中．作P1M⊥x軸于M，P1N⊥對稱軸l于N．對稱軸l交OA于K．

由P1Q=P1F，∠QP1F=90°，可得△P1MF≌△P1NQ，∴P1M=P1N，∴點P在∠MKN的角平分線上．

∵直線KP1的解析式為y=﹣x﹣1，拋物線y′的解析式為y=x2﹣4x，由，解得：或，∴P1（），P2（），同法可知，直線y=x+1與拋物線的交點P3，P4也符合條件．

由，解得：或，∴P3（），P4（）．

綜上所述：滿足條件的點P坐標為（）或（）或（）或（）．