Question

操作：如圖1，在正方形ABCD中，∠EAF=45°根據要求畫出圖形并解答：

（1）將△ADF繞點A順時針旋轉90°，得△AD′F′，請在圖中畫出△AD′F′；
（2）連接EF，寫出圖中的兩對全等三角形，并說明理由；
探究：正方形ABCD的邊長為6，將一塊含45°的三角板按如圖所示的位置擺放，銳角頂點繞點A旋轉，分別交正方形的邊于E、F兩點．
（1）當EF=5時，求△AEF的面積
（2）求此時的旋轉角∠BAE的正切值．

Answer 1

解：操作：（1）畫圖如圖所示．

（2）全等的三角形有：①△ADF≌△ABF′，②△AEF≌△AEF′．（2分

證明：①∵△ADF繞頂點A逆時針旋轉90°得△ABF'，
∴△ADF≌△ABF'．
②在正方形ABCD中，
AB=CD，∠BAD=90°．
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°．
又∵△ADF≌△ABF′，
∴AF=AF′∠BAF′=∠DAF，
∴∠BAF′+∠BAE=45°，
即∠F'AE=45°，
∴∠F′AE=∠EAF．
在△AEF′與△AEF中，
AF'=AF，∠F'AE=∠EAF，AE=AE，
∴△AEF′≌△AEF．

（2）探究：①延長EB至F′，使BF'=DF，連接AF′，EF．
由操作知：△AEF′≌△AEF，
∴EF=EF′，
則．（9分
②過點A作AM⊥EF，垂足為M．

∵△AEF'≌△AEF，
∴AB=AM．
在Rt△ABE與Rt△AME中，
∴Rt△ABE≌Rt△AME，
∴BE=EM．
令BE=EM=x，
∴BF′=FM=5-x，
又∵BF′=DF，
∴DF=5-x，
∴FC=6-（5-x）=1+x．
EC=BC-BE=6-x，
在Rt△EFC中EF²=EC²+FC²，
∴25=（6-x）²+（1+x）²，
∴x₁=2，x₂=3，
即BE=2或BE=3．
又∵AB=6，
∴．
分析：（1）畫圖如圖所示．就是△ADF旋轉到△ABF的位置；
（2）全等的三角形有：①△ADF≌△ABF'，②△AEF≌△AEF'．其中△ADF≌△ABF'由旋轉直接可以得到；由△ADF≌△ABF'可以知道：AF=AF'∠BAF'=∠DAF，根據正方形的性質可以得到AB=CD，∠BAD=90°，而∠EAF=45°，所以可以得到∠F'AE=∠EAF，即可以證明△AEF'≌△AEF；
探究（1）延長EB至F'，使BF'=DF，連接AF'，EF．根據操作可以知道△AEF'≌△AEF，由此推出EF=EF'，所以△AEF的面積就是△AEF'的面積，而它的面積可以求出，也就求出了△AEF的面積；
（2）過點A作AM⊥EF，垂足為M，由（1）推出AB=AM，即可以證明Rt△ABE≌Rt△AME，再根據全等三角形的性質可以得到BE=EM，令BE=EM=x，然后用x分別表示BF′=FM=5-x=DF，CF=1+x，EC=BC-BE=6-x，然后在Rt△EFC中根據勾股定理得到EF²=EC²+FC²，由此建立關于x的方程，解方程求出x，也就可以求出旋轉角∠BAE的正切值．
點評：此題主要考查正方形的性質，利用正方形的性質來探究圖形的變換規律．